Temario de Matemáticas I

Temario de Matemáticas I

Tema I: Aritmética y Álgebra

1.1.- NÚMEROS REALES, LOGARITMOS Y NÚMEROS COMBINATORIOS: Números racionales e irracionales. Números reales. La recta real. Valor absoluto. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos. El número e. Logaritmos decimales y neperianos. Propiedades. Cálculo logarítmico. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Utilización de la calculadora. Descomposición factorial de un polinomio. Fracciones algebraicas: Simplificación y operaciones. (5 semanas)

1.2.- ECUACIONES E INECUACIONES: Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de grados primero y segundo. Números combinatorios. Binomio de Newton. Aplicación del método de Gauss a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Utilización de herramientas algebraicas en la resolución de problemas. (2 semanas)

Tema II: Trigonometría

2.- TRIGONOMETRÍA: Ampliación del concepto de ángulo. El radián. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos: Rectángulos y no rectángulos. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad. Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas. (5 semanas)

Tema III: Números complejos

3.- NÚMEROS COMPLEJOS: El número i. Números complejos. Operaciones con números complejos en forma binómica. Forma trigonométrica y polar de los números complejos. Operaciones. (2 semanas)

Tema IV: Geometría

4.- GEOMETRÍA: Vectores libres en el plano. Operaciones geométricas: Adición, sustracción y multiplicación por un escalar. Componentes de un vector en un sistema de referencia ortonormal. Módulo de un vector. Operaciones con vectores mediante sus componentes. Aplicaciones a la resolución de problemas. Ángulo entre vectores. Producto escalar de dos vectores. Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias entre puntos y rectas. Cálculo de ángulos entre rectas. Resolución de problemas. Lugares geométricos del plano: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. (4 semanas)

Tema V: Cónicas

5.- CÓNICAS: Las cónicas como lugares geométricos. Ecuaciones de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. (2 semanas)

  

Tema VI: Límites y continuidad de funciones

6.1.- FUNCIONES: Características de las funciones y de sus gráficas: Dominio, signo, cortes con los ejes, simetrías, periodicidad, tendencias, crecimiento, decrecimiento y extremos. Descripción de funciones dadas mediante sus gráficas. La función raíz. La función exponencial y la función logarítmica. Las funciones trigonométricas: Sen, cos y tg, y sus inversas. Utilización de la calculadora. Operaciones con funciones. Composición de funciones. (3 semanas)

6.2.- LÍMITES Y CONTINUIDAD: Concepto intuitivo de límite, finito o infinito, de una función en un punto y en el infinito, con apoyo gráfico y de la calculadora. Límites laterales. Asíntotas verticales y horizontales de una función. Cálculo elemental de límites de funciones. Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Continuidad de las funciones elementales (resultado de operaciones combinadas de adición, multiplicación, división y composición de las funciones: Constante, identidad, raíz, ln y exp, sen, cos, tg, arcsen, arccos y arctg). Discontinuidades. Características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto (raíz cuadrada del cuadrado), parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, obtenidas a partir de la expresión analítica que las define. (4 semanas)

Tema VII: Cálculo Diferencial

7.- DERIVADAS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: Aproximación intuitiva a la derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. Iniciación al cálculo de derivadas. Signo de la derivada: Crecimiento y decrecimiento. Puntos críticos o singulares de una función. Máximos y mínimos relativos. Análisis y representación gráfica de funciones sencillas dadas por su expresión analítica. Resolución en un contexto real de problemas relacionados con las funciones. Interpretación de funciones de las que se conoce su gráfica. (4 semanas)

Tema VIII: Estadística y probabilidad

8.1.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL: Estadística descriptiva bidimensional. Relaciones entre dos variables estadísticas. Representación gráfica: Nube de puntos y correlación. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal. (2 semanas)

8.2.- PROBABILIDAD: La combinatoria como técnica de recuento. Probabilidad en experimentos simples o compuestos. Probabilidad condicionada, probabilidad total y probabilidad a posteriori. La probabilidad en experimentos repetidos e independientes: La distribución binomial. Uso de tablas. Asignación de probabilidades. La distribución normal. Normal típica y uso de tablas. Tipificación de una variable normal. Asignación de probabilidades. Aproximación de la binomial por la normal. (2 semanas)

Apuntes: Cónicas

LAS CÓNICAS COMO SECCIO­NES PLANAS DE UNA SUPER­FICIE C­ÓNICA

1.  SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN.

Superficie cónica de revolución es la engendrada por una recta g al girar alrededor de una recta fija e que la corta en un punto V, llamado vértice de la superficie cónica.

La recta fija e se llama eje, y la g, generatriz de la superficie cónica. Las distintas posiciones que toma la recta g durante el giro se llaman generatrices de dicha superficie. Todas las generatrices forman con el eje un ángulo constante α que se llama semiángulo en el vértice.

La superficie cónica se compone de dos hojas separadas por el vértice. Cuando se considera una sola de dichas hojas se dice que la superficie cónica es simple.

Cada punto M de la generatriz describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje y cuyo centro está en el eje. Dichas circunferencias se llaman paralelos de la superficie cónica.

Los planos que pasan por el eje se llaman meridianos de la superficie cónica de revolución y la cortan según sus generatrices que forman el ángulo 2α, esto es, el doble del semiángulo en el vértice.

2. SECCIONES PLANAS DE UNA SU­PERFICIE CÓNICA.

Dada una superficie cónica y un plano π cual­quiera, determinemos, según la posición de π, los puntos comunes al plano π y a la superficie cónica, es decir, la intersección de ambos.

a.     Si el plano π pasa por el vértice V y forma con el eje un ángulo:

•      Mayor que α, la intersección es solamente el punto V.

•      Igual a α, se dice que π es tangente a la superficie cónica, la intersec­ción es una generatriz.

•      Menor que α, la intersección son dos generatrices.

b.     Si el plano π no pasa por el vértice V y:

•     Es perpendicular al eje, la intersección es una circunferencia con centro sobre el eje e.

•    Es oblicuo al eje y corta a todas las generatrices en una de las hojas, la intersección es una elipse.

•      Es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una parábola.
•     Es oblicuo al eje y corta a una parte de las generatrices en una de las hojas y al resto en la otra hoja, la intersección es una hipérbola.

           3. LA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Radio de la circunferencia: Es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA: Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de radio r y centro C (a, b). Por la definición de circunferencia, la distancia del punto P al centro C ha de ser igual al radio, luego:  d ( P, C ) = r.

 

Siendo: A = - 2a, B = -2b y C=a²+b²-r²

 

INTERSECCIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA. 

Las posiciones relativas de una recta y una circunferencia son:

• Secante. Si tiene dos puntos comunes con la circun­feren­cia. ( d < r )
• Tangente. Si tiene un punto común con la circun­feren­cia. ( d = r )
• Exterior. Si no tiene nin­gún punto común con la circun­feren­cia. ( d > r )

Para determinar la posición entre la recta y la circunferencia, comparamos el radio de la circunferencia ( r ) con la distancia del centro de la circunferencia a la recta ( d ); o bien, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

Matemáticas

Rectas notables de un triángulo:

Mediatriz: Una mediatriz de un triángulo es la recta perpendicular a un lado por su punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del lado.

Mediana: Una mediana de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Altura: Una altura de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

Bisectriz: Una bisectriz de un triángulo es la recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Puntos notables de un triángulo:

     Circuncentro: Es el punto de intersección de las  mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo.

Baricentro: Es el punto de intersección de las medianas. Es el centro de gravedad del triángulo.

         Ortocentro: Es el punto de intersección de las alturas.

Incentro: Es el punto de intersección de las bisectrices. Es el centro de la circunferencia inscrita, que es tangente a los tres lados del triángulo e interior a él.

 

 

Prueba de blog

De momento, estoy empezando. Debo pensar bien cómo distribuir los espacios para que coexistan el espacio matemático y el informático. Supongo que ya lo iréis viendo.