Apuntes: Cónicas

LAS CÓNICAS COMO SECCIO­NES PLANAS DE UNA SUPER­FICIE C­ÓNICA

1.  SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN.

Superficie cónica de revolución es la engendrada por una recta g al girar alrededor de una recta fija e que la corta en un punto V, llamado vértice de la superficie cónica.

La recta fija e se llama eje, y la g, generatriz de la superficie cónica. Las distintas posiciones que toma la recta g durante el giro se llaman generatrices de dicha superficie. Todas las generatrices forman con el eje un ángulo constante α que se llama semiángulo en el vértice.

La superficie cónica se compone de dos hojas separadas por el vértice. Cuando se considera una sola de dichas hojas se dice que la superficie cónica es simple.

Cada punto M de la generatriz describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje y cuyo centro está en el eje. Dichas circunferencias se llaman paralelos de la superficie cónica.

Los planos que pasan por el eje se llaman meridianos de la superficie cónica de revolución y la cortan según sus generatrices que forman el ángulo 2α, esto es, el doble del semiángulo en el vértice.

2. SECCIONES PLANAS DE UNA SU­PERFICIE CÓNICA.

Dada una superficie cónica y un plano π cual­quiera, determinemos, según la posición de π, los puntos comunes al plano π y a la superficie cónica, es decir, la intersección de ambos.

a.     Si el plano π pasa por el vértice V y forma con el eje un ángulo:

•      Mayor que α, la intersección es solamente el punto V.

•      Igual a α, se dice que π es tangente a la superficie cónica, la intersec­ción es una generatriz.

•      Menor que α, la intersección son dos generatrices.

b.     Si el plano π no pasa por el vértice V y:

•     Es perpendicular al eje, la intersección es una circunferencia con centro sobre el eje e.

•    Es oblicuo al eje y corta a todas las generatrices en una de las hojas, la intersección es una elipse.

•      Es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz, la intersección es una parábola.
•     Es oblicuo al eje y corta a una parte de las generatrices en una de las hojas y al resto en la otra hoja, la intersección es una hipérbola.

           3. LA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Radio de la circunferencia: Es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA: Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de radio r y centro C (a, b). Por la definición de circunferencia, la distancia del punto P al centro C ha de ser igual al radio, luego:  d ( P, C ) = r.

 

Siendo: A = - 2a, B = -2b y C=a²+b²-r²

 

INTERSECCIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA. 

Las posiciones relativas de una recta y una circunferencia son:

• Secante. Si tiene dos puntos comunes con la circun­feren­cia. ( d < r )
• Tangente. Si tiene un punto común con la circun­feren­cia. ( d = r )
• Exterior. Si no tiene nin­gún punto común con la circun­feren­cia. ( d > r )

Para determinar la posición entre la recta y la circunferencia, comparamos el radio de la circunferencia ( r ) con la distancia del centro de la circunferencia a la recta ( d ); o bien, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.